Interpretación y resolución de la ecuación propuesta:

Los acontecimientos que tuvieron lugar en torno al problema de la resolución de la ecuación de tercer grado configuran uno de los episodios más apasionantes de la historia del álgebra.
En 1539,Nicolò Fontana “Tartaglia” (ca. 1499 – 1557) comunicó a Girolamo Cardano (1501 – 1576), mediante unos tercetos, las reglas que permitían resolver tres tipos de ecuaciones de tercer grado [x3 + px = q ; x3 = px + q; x3 + q = px, (p, q >0)].
He aquí la traducción e interpretación matemática de los tres tercetos en los que el “tartamudo de Brescia”describe la regla para calcular la única raíz positiva de la ecuación x3 + px = q.
Cuando el cubo y las cosas juntas
[x3 + px]
Se igualan a cualquier número discreto:
[x3 + px = q]
Se buscan otros dos que difieran en él.
[u – v = q]
Luego, tendrás por costumbre

Que su producto sea siempre igual
Al cubo de la tercera parte de las cosas conocidas.
[uv = (p/3)3]
Como regla general, lo que queda De la diferencia de sus raíces cúbicas
será igual a tu cosa principal.

Cardano, como muestra de agradecimiento, se comprometió a no revelarlas hasta que Tartaglia las hiciese públicas. No obstante, ante la tardanza de dicha publicación, Cardano las dio a conocer en su Ars Magna (1545).
Este hecho provocó que, al año siguiente, Nicolò Fontana publicase algunos comentarios despectivos sobre Girolamo que originaron una polémica nada edificante entre Tartaglia y Ludovico Ferrari (1522 – 1565), otro de los grandes matemáticos italianos del Renacimiento.
En las líneas siguientes, utilizando el simbolismo moderno y mediante un proceso similar al de Tartaglia-Cardano, presentamos la fórmula que permite resolver la ecuación de tercer grado por radicales.
Es un hecho bien conocido que cualquier ecuación general de tercer grado se puede transformar, mediante los cambios pertinentes, en otra sin término de segundo grado y cuyo primer coeficiente es 1. En consecuencia, basta con estudiar las ecuaciones del tipo:.
x3 + px + q = 0 [1]
A partir de la identidad (u + v)3 = u3 + v3 + 3uv (u + v) se puede escribir la siguiente relación:
(u + v)3 – 3uv(u + v) – (u3 + v3) = 0 [2]
Comparando [1] y [2], se tiene que:
x = u + v
3uv = – p
u3 + v3 = – q
A partir de las dos últimas igualdades no resulta difícil obtener que:

De donde, por extracción de la raíz cúbica, se obtienen tres valores para u y tres valores para v, a partir de los cuales se generan nueve parejas (u, v). De ellas sólo tres verifican las restricciones 3uv = – p y u3 + v3 = – q.
Con esto, las tres raíces de la ecuación [1] vienen dadas por:
Si, estamos en presencia del “caso irreducible” cuyas soluciones reales se deben calcular haciendo intervenir números complejos.